Внимание!!!
В выложенном на сайте тексте могут быть ошибки,
оригинальную версию методички одним файлом в формате .doc (MS Word)
5.3. Марковские случайные процессы. Основные понятия и определения.
В процессе обработки входных заявок СМО переходит из одного состояния в другое, причем число состояния и физический смысл может определятся исследователем, в зависимости от поставленной задачи проектирования.
СМО - система с дискретными состояниями. Для многоприборной системы понятие состояния может быть связано с состоянием ресурсов. В некоторых можно выделить ПРВВ, ПРД, ЦПР. Тогда можно ввести состояния:
свободен 0
занят 1
В таком случае в системе возможно 8 состояний
Но переход из состояния в состояние в такой СМО выполняется в случайном порядке, т.е. развивается некоторый стохастический процесс.
В классическом пледставлении общее состояние СМО связывается с общим числом заявок, находящихся в системе /в приборе и в очереди/.
Для описания процессов, происходящих в СМО часто используются так называемые Марковские случайные процессы с ограниченным последствием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Стохастическим или случайным процессом называется такая функция Z(t), которая в каждый момент времени tk, принимает значение некоторой случайной величины Z(tk), которая называется также сечением случайного процесса. В общем случае каждое сечение случайного процесса может иметь свое распределение вероятности.
Исследование случайного процесса обычно выполняется на множестве его реализаций: Z1(t) , Z2(t), ..., Zn(t), которые должны быть получены одновременно, синхронно при исследовании n совершенно одинаковых идентичных объектов. Множество этих реализаций называется ансамблем, и характеристики каждого сечения могут быть получены путем обработки соответствующих данных в данном сечении по множеству реализаций.
Если функции плотности распределения разные, то это нестационарный случайный процесс.
Если "волна распределения" будет строгой /стоячей/, то имеет место стационарный случайный процесс.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если в каждом сечении случайного процесса Z(tк)
случайная величина принимает лишь конечное или счетное множество значений {Z1, Z2 ,..., Zj}, то такой дискретный процесс со случайными состояниями t1, t2 называется цепью.
Переход из состояния в состояние обязательно мгновенный.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если все моменты времени, в которых возможны переходы из состояния в состояние, образуют конечное или счетное множество моментов {t1, t1, ..., tк}, то такой случайный процесс с дискретным временем называется последовательностью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если переходы из состояния в состояние осуществляются в любой момент времени, т.е. нельзя выделить какого-либо даже очень малого шага t для задания всех возможных моментов переходов, то такой случайный процесс является процессом с непрерывным временем.
Процессы в СМО обязательно являются цепью, но их развитие может быть представлено как в непрерывном, так и в дискретном времени. Для аналитического исследования часто используется непрерывное время, в то же время для моделирования с помощью ЭВМ используем дискретное время, т.е. представляем процесс в виде цепи с дискретным временем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Марковским случайным процессом называется цепь с дискретными состояниями {Z1, Z2 ,..., Z1, ..., Zj, ...}, в котором распределение вероятностей состояний в момент времени tk, т.е. fk(z), зависит только от того, в каком состоянии находятся процесс в момент времени tk-1, и не зависит от того в каком состоянии находилась система в моменты t1, t2 ,..., tk-1, причем:
t1 t2 t3 tk-1 tk .
Функция распределения fk(z) /является/ зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент tk-1 .
Для задания марковской цепи необходимо в принципе задать множество распределений fk(z) для некоторых Zk-1 . А фактически это отражается в некотором графе переходов из одного состояния в другое, для которого отображаются переходы для пары tk-1 tk .
Кроме графа переходов для каждого сечения может быть задана и таблица переходов, в которой фиксируются вероятности переходов Рij из Zi Zj
В общем случае и граф переходов G(k) марковской цепи и таблица переходов Т(к) отражают то распределение, которое имело место в к -ом сечении. И хотя множество распределений одинаково для любых пар моментов, но история процесса отражается уже многими графами и многими таблицами.
