Внимание!!!
В выложенном на сайте тексте могут быть ошибки,
оригинальную версию методички одним файлом в формате .doc (MS Word)
5.4. Свойство однородных марковских цепей
Простейшим видом марковской цепи является однородная марковская цепь, в которой вероятности перехода из состояния в состояние Pij не зависят от времени, а следовательно марковская цепь для любых сечений случайного процесса представляется одним и тем же G, одной и той же таблицей T.
Некоторые определения, которые позволят сформулировать свойства однородных марковских цепей /для рассчета и анализа в процессах /.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Если в одной марковской цепи можно из любого состояния Zi перейти в любое другое состояние за как угодно большой интервал времени, то такая марковская цепь называется неприводимой. В графе такой марковской цепи будут отсутствовать "висячие" вершины /в которые входят стрелки, но не выходят/.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Состояние однородной марковской цепи Zj называется возвратным, если вероятность вернуться в него по истечении некоторого большого времени равна 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3
Средним временем возвращения в некоторое возвратное состояние Zj называется среднее время между многими очередными возвращениями в это состояние. Если имеет место цикличность, то тогда речь идет о стахастическом процессе, а можно использовать более простые средства анализа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4
Если все состояния однородной марковской цепи апериодичные, то такая марковская цепь называется апериодической, и в ней не развиваются различные циклические процессы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5
Если времена возвращения trj не одинаковы /не повторяются/, то такое возвратное состояние Zj называется опериодичным.
СВОЙСТВО 1:
Если марковская цепь однородна, неприводима и апериодична, то для каждого состояния цепи существуют некоторые предельные вероятности состояний Pj, которые называются равновесными, и которые не зависят от времени и от начальных условий, т.е.
Вероятностный переходный процесс как-бы закончился и наступил равновесный, не зависящий от Pj (0).
СВОЙСТВО 2:
Если все состояния однородной марковской цепи возвратны, а средние времена trj конечны, то для такой марковской цепи имеет место стационарное распределение вероятностных состояний:
- сумма произведений другого состояния на вероятность перехода из i-го состояния в j-тое
Равновесие вероятности состояний марковской цепи и вероятности переходов позволяют вычислить важные характеристики однородного марковского процесса:
- время возвращения в j-тое состояние
- среднее время пребывания в каждом j-ом состоянии
Но эти времена задаются с учетом шага испытаний .
Текущее состояние процесса на марковском графе отображается точкой. На каждом шаге мы точку снимаем и разрываем переход. Среднее время возврата в каждое состояние:
выбирается как минимальный шаг, при котором возможен физический переход.
Для определения среднего времени воспользуемся некоторыми фрагментами цепи, которые подвергались испытаниям на каждом шаге.
Среднее время будет видимо определяться вероятностью переходов в то же самое состояние Pjj, которая должна согласовываться с вероятностью выхода / I- Pjj /.
Среднее время пребывания в j-том состоянии может определить как геометрическое расределение вероятности возвращения в то же состояние на k шагах испытаний. В этом случае вероятность того, что в Zj будем находить k шагов будет:
Это геометрическое дискретное распределение характеризует результаты испытаний с /k-I/ неуспехом и одним успехом, и наоборот.
Для среднего времени при геометрическом распределении:
- задает среднее время для k.
Геометрическое распределение является простейшим распределением без последствия. Именно оно характеризует процесс обследования заявок в СМО, поскольку Zj мы можем рассмотреть как состояние обследования j-той заявки. Тогда среднее время ее обследования распределяется геометрически.
Если выходной поток СМО имеет более сложное распределение чем экспоненциальное или геометрическое, а для описания процессов СМО используется однородная марковская цепь, то в этом случае имеет место некоторое логическое несоответствие, и такая модель называется полумарковской. Такая модель называется с вложенным марковским процессом.
Если же выходной поток простейший, то можно назвать эту модель марковской и использовать однородные цепи для анализа процесса.
