Декартово произведение множеств

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Пусть и - множества. Выражение вида , где и , называется упорядоченной парой. Равенство вида означает, что и . В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов . Упорядоченные n-ки иначе называют наборы или кортежи.

Определение 4. Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Определение 5. Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

.

Отношение

Определение 6. Подмножество декартового произведения множеств называется отношением степени n (n-арным отношением).

Определение 7. Мощность множества кортежей, входящих в отношение , называют мощностью отношения .

Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Понятие отношения фактически лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц. Сам термин "реляционное представление данных", впервые введенный Коддом [43], происходит от термина relation, понимаемом именно в смысле этого определения.

Т.к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины "отношение степени 1" и "подмножество" являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:

Во-первых, все элементы отношения есть однотипные кортежи. Однотипность кортежей позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т.е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных. Например, отношение, состоящее из трех следующих кортежей {(1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000)} можно считать таблицей, содержащей данные о сотрудниках и их зарплатах. Такая таблица будет иметь три строки и три колонки, причем в каждой колонке содержатся данные одного типа.

В противоположность этому рассмотрим множество {(1), (1, 2), (1, 2, 3)}, состоящее из разнотипных числовых кортежей. Это множество не является отношением ни в , ни в , ни в . Из кортежей, входящих в это множество нельзя составить простую таблицу. Правда, можно считать это множество отношением степени 1 на множестве всех возможных числовых кортежей всех возможных степеней , но такая трактовка ничего нового, по сравнению с понятием подмножества, не дает.

Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение , отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения.

Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение , зависящее от n параметров (n-местный предикат) и определяющее, будет ли кортеж принадлежать отношению . Это логическое выражение называют предикатом отношения . Более точно, кортеж принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат этого отношения принимает значение "истина". В свою очередь, каждый n-местный предикат задает некоторое n-арное отношение. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между n-арными отношениями и n-местными предикатами.

Если это не вызывает путаницы, удобно и отношение, и его предикат обозначать одной и той же буквой. Например, отношение имеет предикат .