Примеры отношений

Бинарные отношения (отношения степени 2)

В математике большую роль играют бинарные отношения, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств .

Отношение эквивалентности

Определение 8. Отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1. для всех (рефлексивность)
2. Если , то (симметричность)
3. Если и , то (транзитивность)

Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком или и говорят, что оно (отношение) задано на множестве (а не на ). Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

1. для всех (рефлексивность)
2. Если , то (симметричность)
3. Если и , то (транзитивность)

Легко доказывается, что если на множестве задано отношение эквивалентности, то множество разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности).

Пример 1. Рассмотрим на множестве вещественных чисел отношение, заданное просто равенством чисел. Предикат такого отношения:

, или просто

Условия 1-3, очевидно, выполняются, поэтому данное отношение является отношением эквивалентности. Каждый класс эквивалентности этого отношения состоит из одного числа.

Пример 2. Рассмотрим более сложное отношение эквивалентности. На множестве целых чисел зададим отношение "равенство по модулю n" следующим образом: два числа и равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. Например, по модулю 5 равны числа 2, 7, 12 и т.д.

Условия 1-3 легко проверяются, поэтому равенство по модулю является отношением эквивалентности. Предикат этого отношения имеет вид:

Классы эквивалентности этого отношения состоят из чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Таких классов ровно n:

Отношения порядка

Определение 9. Отношение на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:

1. для всех (рефлексивность)
2. Если и , то (антисимметричность)
3. Если и , то (транзитивность)

Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов и выполняется , то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

1. для всех (рефлексивность)
2. Если и , то (антисимметричность)
3. Если и , то (транзитивность)

Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.

Предикат данного отношения есть просто утверждение .

Пример 4. Рассмотрим на множестве всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник предшествует сотруднику тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• 
• является начальником (не обязательно непосредственным)

Назовем такое отношение "быть начальником". Легко проверить, что отношение "быть начальником" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников и , для которых не выполняется ни , ни (например, если и являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.

Функциональное отношение

Определение 10. Отношение на декартовом произведении двух множеств называется функциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:

1. Если и , то (однозначность функции).

Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости - тогда и только тогда, когда . Функциональные отношения (подмножества декартового произведения!) называют иначе графиком функции или графиком функциональной зависимости.

Предикат функционального отношения есть просто выражение функциональной зависимости .

Еще пример бинарного отношения

Пример 5. Пусть множество есть следующее множество молодых людей: {Вовочка, Петя, Маша, Лена}, причем известны следующие факты:

1. Вовочка любит Вовочку (эгоист).
2. Петя любит Машу (взаимно).
3. Маша любит Петю (взаимно).
4. Маша любит Машу (себя не забывает).
5. Лена любит Петю (несчастная любовь).

Информацию о взаимоотношения данных молодых людей можно описать бинарным отношением "любить", заданном на множестве . Это отношение можно описать несколькими способами.

Способ 1. Перечисление фактов в виде произвольного текста (как это сделано выше).

Способ 2. В виде графа взаимоотношений:

Рисунок 1 Граф взаимоотношений

Способ 3. При помощи матрицы взаимоотношений:

Таблица 1. Матрица взаимоотношений

Способ 4. При помощи таблицы фактов:

Таблица 2 Таблица фактов

С точки зрения реляционных баз данных наиболее предпочтительным является четвертый способ, т.к. он допускает наиболее удобный способ хранения и манипулирования информацией. Действительно, перечисление фактов как текстовая форма хранения информации уместна для литературного произведения, но с трудом поддается алгоритмической обработке. Изображение в виде графа наглядно, и его удобно использовать как конечную форму представления информации для пользователя, но хранить данные в графическом виде неудобно. Матрица взаимоотношений уже больше соответствует требованиям информационной системы. Матрица удобна в обработке и компактно хранится. Но одно небольшое изменение, например, появился еще Вася и влюбился в несчастную Лену, требует перестройки всей матрицы, а именно, добавления и колонок, и столбцов. Таблица фактов свободна от всех этих недостатков - при добавлении новых действующих лиц просто добавляются новые строки.

Что касается предиката данного отношения, то он имеет следующий вид (дизъюнктивная нормальная форма):

R(x,y) = {(x = "Вовочка" AND y = "Вовочка") OR (x = "Петя" AND y = "Маша") OR (x = "Маша" AND y = "Петя") OR (x = "Маша" AND y = "Маша") OR (x = "Лена" AND y = "Петя")}

Замечание. Приведенное отношение не является ни транзитивным, ни симметричным или антисимметричным, ни рефлексивным, поэтому оно не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка, ни каким-либо другим разумным отношением.

Замечание. Большая часть мировой литературы существует и имеет смысл лишь постольку, поскольку бинарное отношение "любить" не является отношением эквивалентности. В частности, по этой причине человечество не разбивается на классы эквивалентности взаимно любящих особей. Изучением характеристик данного отношения и соответствующего ему предиката занималось (и продолжает заниматься) большое количество экспертов, таких как Толстой Л.Н., Шекспир В. и др.

n-арные отношения (отношения степени n)

В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.

Пример 6. В некотором университете на математическом факультете учатся студенты Иванов, Петров и Сидоров. Лекции им читают преподаватели Пушников, Цыганов и Шарипов, причем известны следующие факты:

1. Пушников читает лекции по алгебре и базам данных, соответственно, 40 и 80 часов в семестр.
2. Цыганов читает лекции по геометрии, 50 часов в семестр.
3. Шарипов читает лекции по алгебре и геометрии, соответственно, 40 и 50 часов в семестр.
4. Студент Иванов посещает лекции по алгебре у Шарипова и по базам данных у Пушникова.
5. Студент Петров посещает лекции по алгебре у Пушникова и по геометрии у Цыганова.
6. Студент Сидоров посещает лекции по геометрии у Цыганова и по базам данных у Пушникова.

Для того чтобы формально описать данную ситуацию (например, в целях разработки информационной системы, учитывающей данные о ходе учебного процесса), введем три множества:

• Множество преподавателей = {Пушников, Цыганов, Шарипов}.
• Множество предметов = {Алгебра, Геометрия, Базы данных}.
• Множество студентов = {Иванов, Петров, Сидоров}.

Имеющиеся факты можно разделить на две группы. 1 группа (факты 1-3) - факты о преподавателях, 2 группа (факты 4-6) - факты о студентах.

Для того чтобы отразить факты 1-3 (характеризующие преподавателей и читаемые ими лекции), введем отношение на декартовом произведении , где - множество рациональных чисел. А именно, упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда преподаватель читает лекции по предмету в количестве часов в семестр. Назовем такое отношение "Читает лекции по…". Множество кортежей, образующих отношение удобно представить в виде таблицы:

Таблица 3 Отношение "Читает лекции по…"

Для того чтобы отразить факты 4-6 (характеризующие посещение студентами лекций), введем отношение на декартовом произведении . Упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда студент посещает лекции по предмету у преподавателя . Назовем это отношение "Посещать лекции". Его также представим в виде таблицы:

Таблица 4 Отношение "Посещать лекции"

Рассмотрим отношение подробнее. Оно задано на декартовом произведении . Это произведение, содержащее 3*3*3=27 кортежей, можно назвать "Студенты-Лекции-Преподаватели". Множество представляет собой совокупность всех возможных вариантов посещения студентами лекций. Отношение же показывает текущее состояние учебного процесса. Очевидно, что отношение является изменяемым во времени отношением.

Итак, факты о ходе учебного процесса удалось отразить в виде двух отношений третьей степени (3-арных), а сами отношения изобразить в виде таблиц с тремя колонками.

Удобство использования табличной формы для задания отношения определяется в данном случае следующими факторами:

1. Все используемые множества конечны.
2. При добавлении или удалении студентов, предметов, преподавателей просто добавляются или удаляются соответствующие строки в таблице.

Нас сейчас не интересует вопрос, хороши ли полученные отношения. Заметим пока только, что, как показывают следующие замечания, не любую строку можно добавить в таблицу "Посещать лекции".

Замечание. В таблицу "Посещать лекции" нельзя добавить две одинаковые строки, т.к. таблица изображает отношение , а в отношении (как и в любом множестве) не может быть двух одинаковых элементов. Это пример синтаксического ограничения - такое ограничение задано в определении понятия отношение (одинаковых строк не может быть ни в одной таблице, задающей отношение).

Замечание. В таблицу "Посещать лекции" нельзя добавить кортеж (Иванов, Геометрия, Пушников). Действительно, из таблицы "Читает лекции по…", представляющей отношение , следует, что Пушников не читает предмет "Геометрия". Оказалось, что таблицы связаны друг с другом, и существенным образом! Это пример семантического ограничения - такое ограничение является следствием нашей трактовки данных, хранящихся в отношении (следствием понимания смысла данных).